Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Aiyangar Ramanujan è stato un matematico indiano. Bambino prodigio, imparò, in gran parte da autodidatta, la matematica.

Ramanujan ha lavorato principalmente nella teoria analitica dei numeri ed è noto per molte formule di sommatorie che coinvolgono costanti come π, numeri primi e la funzione di partizione. Spesso le sue formule erano enunciate senza dimostrazione e solo in seguito si rivelarono corrette. I suoi risultati hanno ispirato un gran numero di ricerche matematiche successive. Nel 1997 fu lanciato il Ramanujan Journal per la pubblicazione di lavori “in aree della matematica influenzate da Ramanujan”.

Ramanujan era un indiano nato a Erode nel Tamil Nadu, India. Si iscrisse alla scuola superiore cittadina di Kumbakonam nel 1898, quando aveva 10 anni, e sembra che lì entrò in contatto per la prima volta con i formalismi matematici. A undici anni eguagliava in conoscenza matematica gli inquilini della sua casa, entrambi studenti al Government College, ed ebbe in prestito libri di trigonometria avanzata, che due anni più tardi già padroneggiava. Il suo biografo riporta che a quattordici anni il suo genio iniziava a manifestarsi: non solo ottenne certificati di merito e premi accademici in tutti i suoi anni scolastici, ma aiutò la sua scuola nella logistica necessaria ad assegnare tutti i 1.200 studenti (ognuno con le proprie esigenze) ai trentacinque insegnanti; completò gli esami nella metà del tempo a disposizione, mostrando familiarità anche con le serie infinite; i compagni dell’epoca commentarono in seguito “Noi, insegnanti inclusi, raramente lo comprendevamo” e “lo guardavamo con rispettosa ammirazione”. Tuttavia, Ramanujan non si concentrò sulle altre materie, tanto da non superare gli esami della scuola superiore. In questo periodo della sua vita era ancora molto povero, quasi fino alla miseria.

Una volta sposato, dovette cercare un lavoro. Con la raccolta dei suoi calcoli matematici, si spostò nella città di Chennai alla ricerca di un lavoro da impiegato. Alla fine trovò un’occupazione e un inglese gli consigliò di contattare i ricercatori di Cambridge. Mentre era impiegato nella Ragioneria di Stato, Ramanujan cercò di ottenere quei riconoscimenti che sperava gli avrebbero consentito di lasciare il lavoro e concentrarsi sullo studio della matematica. Sollecitò tenacemente l’aiuto di individui di buona posizione, e pubblicò molti articoli nei giornali matematici indiani, ma non riuscì ad ottenere una sponsorizzazione.

Tormentato da problemi di salute per tutta la vita, in una nazione lontana da casa, ed ossessivamente preso dai suoi studi, la salute di Ramanujan peggiorò in Inghilterra, forse aggravata dallo stress, e dalla scarsità di cibo vegetariano durante la Prima guerra mondiale. Gli furono diagnosticate tubercolosi ed una grave carenza di vitamine, benché un’analisi del 1994 dei registri medici e dei sintomi di Ramanujan da parte del Dott. D.A.B Young abbia concluso che molto probabilmente aveva avuto una amebiasi epatica, un’infezione parassita. Questo è supportato dal fatto che Ramanujan passò molto tempo a Madras, una città costiera dove la malattia era diffusa. Era una malattia difficile da diagnosticare, ma una volta diagnosticata era facile da curare. Ritornò in India nel 1919 e morì poco dopo a Kumbakonam, lasciando come ultimo dono al mondo la scoperta della funzione theta di Ramanujan. Sua moglie S. Janaki Ammal ha vissuto fuori da Chennai (un tempo Madras) fino alla sua morte nel 1994. Janaki aveva nove anni quando si erano sposati, una pratica abbastanza comune in India al tempo.

Il talento di Ramanujan ha suggerito una pletora di formule che sono state poi esaminate a fondo in seguito. Di conseguenza, si aprirono nuove direzioni di ricerca.

Il professore di Cambridge Hardy scrisse di Ramanujan:

“I limiti della sua conoscenza erano sorprendenti come la sua profondità. Era un uomo capace di risolvere equazioni modulari e teoremi… in modi mai visti prima, la cui padronanza delle frazioni continue era… superiore a quella di ogni altro matematico del mondo, che ha trovato da solo l’equazione funzionale della funzione zeta e i termini più importanti di molti dei più famosi problemi nella teoria analitica dei numeri; e tuttavia non aveva mai sentito parlare di una funzione doppiamente periodica o del teorema di Cauchy, e aveva una vaga idea di cosa fosse una funzione a variabili complesse…”

Quando era ancora in India, Ramanujan scrisse molti risultati in tre quaderni raccoglitori. I risultati venivano scritti senza calcoli; questa è probabilmente l’origine del malinteso che Ramanujan non fosse in grado di dimostrare i suoi risultati e semplicemente pensasse il risultato finale direttamente. Berndt, nella sua recensione dei quaderni e del lavoro di Ramanujan si accorse che Ramanujan quasi certamente era in grado di dimostrare molti dei suoi risultati, ma scelse di non farlo.

Questo modo di lavorare può avere molte ragioni. Dal momento che la carta era costosa, Ramanujan deve aver svolto la maggior parte del suo lavoro e forse delle sue dimostrazioni su una lavagna per poi trasferire i risultati su carta. L’uso della lavagna era comune in India fra gli studenti di matematica del tempo. È molto probabile che Ramanujan sia stato influenzato dallo stile di uno dei libri da cui ha imparato molta della matematica avanzata, Compendio di Matematica Pura e Applicata di G. S. Carr, usato da Carr nel suo insegnamento. Ha inoltre raccolto molte migliaia di risultati, asserendoli senza dimostrazione. È possibile che, alla fine, ritenesse i suoi lavori utili solo per il suo interesse; e quindi annotava solo i risultati.

I risultati dei suoi quaderni hanno ispirato molti articoli di matematica nel tentativo di dimostrarli. Lo stesso Hardy produsse degli articoli esplorando materiale proveniente dal lavoro di Ramanujan, così come G. N. Watson, B. M. Wilson, e Bruce Berndt.

Settima lezione

Ormai l’esame di matematica si avvicina sempre di più!!!! Oggi il professor Lariccia ci ha spiegato in dettaglio le prove di gruppo che dovremo svolgere. ci siamo poi cimentati nel realizzare un progetto per sviluppare il calcolo a livello intuitivo con QQstorie, partendo dall’esperienza del matematico Gauss che era riuscito a sommare tutti i numeri da 1 a 100 in pochissimo tempo.

Ecco esempi di immagini con QQstorie per favorire il calcolo a livello intuitivo:

Tabelline….canterine !!!

Penso che l’idea di utilizzare filastrocche o canzoni per avvicinare i bambini al mondo della matematica sia molto interessante. Soprattutto utilizzare questo metodo giocoso nell’ambito delle tabelline che spesso vengono viste come difficli e faticose in quanto devono essere imparate a memoria è molto funzionale. Ecco qualche esempio :

La tabellina dell’8

Ciao,io sono la chiocciolina Marilù!

Sono piccola, carina e tanto tanto simpatica!

Vuoi imparare con me la tabellina dell’8?

Si? Allora apri bene le orecchie! Segui il ritmo e le parole!

Sarà facile come bere un bicchiere d’acqua, anzi come mangiare un fogliolina di lattuga!!!

Ciao, ciao!!!”

                                     Canzone della chiocciolina Marilù

RIT…. Con la canzone di Marilù

           La tabellina non scorderai più

           con la chiocciola Marilù

           questa canzone la impari anche tu

8×0 = 0 Io vado piano, ma piano davvero.

8×1 = 8 Il mio caro amico è un cane bassotto.

8×2 =16 Fa. Amo l’estate col caldo che fa.

8×3 = 24 Giochiamo insieme, facciamo un patto.

8×4 =32 Son piccolina nelle mani tue.

8×5 = 40 Io sono l’unica lumaca che canta.

8×6= 48 Il mio duro guscio mi fa da cappotto.

8×7 = 56 Vieni a conoscere gli amici miei.

8×8 = 64 Giochiamo a carte o a scaccomatto.

8×9 = 72 Ci divertiamo anche in due.

8×10 = 80 Forza cantiamo con tutta la banda.

RIT…. Con la canzone di Marilù

           La tabellina non scorderai più

           con la chiocciola Marilù

           questa canzone la impari anche tu

Tabellina del 9

Amici, vi è mai capitato di sentire la mamma dire: “Luca, non mangiare troppo! Non esagerare! Basta con quei dolci o ti verrà il mal di pancia!

Vi è capitato molte volte, vero?

Beh, allora pensate che il protagonista della prossima canzone, il lupo Gedeone, fa  colazione con 5 polli arosto, 8 bistecche, 6 torte e fiumi di coca-cola!

Come dite? Non ci credete? Allora ascoltate la sua storia: ne sentirete proprio delle belle su questo lupo mattacchione!

                                              IL BALLO DEL LUPO GEDEONE

La, la, la… Amici, mi presento, sono il lupo Gedeone,

sono un vero golosone, mangio arrosto a colazione.

Mi abbuffo di bistecche e bevo tanta Coca-cola,

poi di corsa vado a scuola ed imparo un po’ a cantar.

RIT….   Lupo lupone, lupo lupone,

             per  fortuna non mangi i bambini:

             tu mangi torte ed involtini,

             la pastasciutta ed i tramezzini,

             Lupo lupone, lupo lupone,

              mentre tu mangi una tortina

             dimmi questa tabellina

             così io la imparerò.

9×0 = 0  Il mio muso è tutto nero.

9×1 = 9  Vado a spasso anche se piove.

9×2 = 18 adoro il prosciutto cotto.

9×3 = 27 Mangio anche le orecchiette.

9×4 = 36 Vado in vacanza sui Pirenei

9×5 = 45 per imparare un po’ di lingue.

9×6 = 54 Sono agile come un gatto

9×7 = 63 se ti va, vieni con me

9×8 = 72 quando ho fame, mangio per due

9×9 = 81 non mi batte proprio nessuno

9×10 = 90 la mia fame è sempre tanta.

RIT….   Lupo lupone, lupo lupone,

             per  fortuna non mangi i bambini:

             tu mangi torte ed involtini,

             la pastasciutta ed i tramezzini,

             Lupo lupone, lupo lupone,

              mentre tu mangi una tortina

             dimmi questa tabellina

             così io la imparerò.

La grande matematica: Marie – Sophie Germain

Preparandomi per l’esame che ormai è imminente ho cercato su vari siti in Internet una grande matematica. Mi sono molto interessata alla storia di Marie-Sophie Germain soprattutto per il fatto che  per diversi anni fu costretta ad utilizzare uno pseudonimo maschile (Antoine-August Le Blanc), perché all’epoca le donne erano ancora escluse dagli ambienti accademici. Le occorsero diversi anni di duro lavoro per essere riconosciuta ed apprezzata per i suoi contributi nel campo della matematica.

Molto interessante anche il motivo del suo amore per la matematica: aveva solo 13 anni ! Nella biblioteca del padre, un ricco mercante parigino, aveva trovato un libro sulla storia della matematica. Rimase colpita dal racconto della morte di Archimede: il matematico di Siracusa era così concentrato su un problema geometrico da non prestare attenzione ad un soldato dell’esercito romano che aveva invaso la città. Il soldato, irritato dalla mancata risposta alla sua domanda, lo uccise sul posto con la sua spada. La ragazza pensò che la matematica doveva essere un argomento affascinante, se qualcuno ne era attirato al punto da perdere la vita.

È soprattutto nota per il suo lavoro nel campo della teoria dei numeri, ma importante in matematica è anche il suo lavoro nel campo della teoria dell’elasticità. Ella è attualmente un’icona del movimento femminista per la battaglia che ha dovuto condurre contro i pregiudizi sociali e culturali del suo tempo. Nel 1794 fu aperta a Parigi l’École Polytechnique, istituzione destinata alla formazione superiore di scienziati e matematici. Sarebbe stata la scuola ideale per Sophie Germain, allora diciottenne. Ma per legge le donne erano escluse dai corsi. La ragazza ricorse allora ad uno stratagemma: assunse un’identità maschile facendosi passare per Antoine-August Le Blanc, uno studente che risultava iscritto all’École, ma che aveva in realtà abbandonato gli studi. Per non farsi scoprire non poteva frequentare i corsi, ma riusciva ad ottenere le dispense su cui studiare e presentare le sue elaborazioni scritte ai docenti. Il professor Lagrange, uno dei matematici più importanti dell’epoca, fu molto colpito dall’improvviso e notevole salto di qualità dei lavori di Antoine-August Le Blanc, uno studente che non aveva mai mostrato brillanti doti di matematico. Chiese con insistenza un incontro con lui, e Sophie Germain, a malincuore, fu costretta a rivelare la sua identità. Contrariamente a quanto temeva la giovane, Lagrange, pur stupito nell’incontrare una ragazza, si complimentò con lei per il suo talento, e la invitò a proseguire gli studi. Con il sostegno di un mentore come Lagrange, Sophie Germain si dedicò alla ricerca matematica più avanzata. Si interessò di teoria dei numeri e lavorò a lungo sull’ultimo teorema di Fermat. Nel corso di queste ricerche arrivò ad individuare un particolare tipo di numero primo (che da lei prese il nome di numero primo di Sophie Germain). Sentiva però il bisogno di confrontarsi con un esperto, e scrisse direttamente alla massima autorità in materia, Carl Friedrich Gauss.

Nel 1809 l’Accademia delle Scienze indisse un concorso per trovare una spiegazione matematica agli esperimenti del fisico Ernst Chladni sulle vibrazioni delle superfici elastiche. Napoleone stesso era molto interessato a questo risultato, al punto da offrire come premio al vincitore una medaglia d’oro da 1 kg. Sophie Germain si dedicò a questa nuova sfida, e alla scadenza dei due anni fissati dall’Accademia delle Scienze, fu la sola a presentare un lavoro. La commissione si rifiutò tuttavia di riconoscerle il premio, per via di alcuni errori che lo stesso Lagrange, membro della commissione giudicatrice, aveva evidenziato. Con l’aiuto delle stesso Lagrange, Sophie Germain ottenne la soluzione corretta del problema della piastra. Tale soluzione però, per spirito maschilista di cui la storia della scienza non è esente, è comunemente nota come equazione differenziale di Lagrange: solo recentemente la soluzione è più correttamente citata come equazione di Germain-Lagrange. Il concorso fu comunque indetto una seconda volta nel 1813 e neppure allora il lavoro della candidata fu ritenuto soddisfacente a causa di certe lacune nella dimostrazione. Solo nel 1815, al terzo tentativo, la tenace perseveranza di Sophie fu premiata ottenendo finalmente il riconoscimento dovuto. Ella però si rifiutò di partecipare alla cerimonia di premiazione perché ella pensava che i giudici non avessero apprezzato pienamente il suo lavoro e che la comunità scientifica non le manifestasse il rispetto dovuto. Certamente Poisson, il suo principale rivale sul soggetto dell’elasticità ed anche giudice al concorso, inviò un formale e laconico ringraziamento al suo lavoro ma evitò ogni seria discussione con la studiosa e continuò ad ignorarla in pubblico. La Memoria sulle vibrazioni delle piastre elastiche fu il suo contributo più importante alla matematica, un lavoro ricco di brillanti intuizioni che getta le fondamenta della moderna teoria dell’elasticità.  La vittoria al concorso tuttavia la consacrò definitivamente, a quarant’anni, come uno dei grandi matematici del tempo. In seguito alla ricerca sulle vibrazione delle superfici elastiche e alla sua opera sull’Ultimo Teorema di Fermat fu la prima donna ammessa a frequentare le sessioni dell’Accademia delle Scienze, un privilegio fino ad allora riservato solo alle mogli degli scienziati membri. Sophie Germain invece non si sposò mai.

Nonostante i suoi grandi meriti scientifici, Sophie Germain non era riuscita ad ottenere la laurea non avendo completato gli studi all’École Polytechnique. Nel 1830 l’università di Göttingen, su pressione di Gauss, decise di assegnarle una laurea honoris causa. Tragicamente, prima che l’Università potesse consegnarle l’onorificenza, Sophie Germain morì di tumore al seno dopo due anni di malattia.

A parte il suo lavoro di matematica, lei ha lasciato pure un certo numero di articoli di un certo valore sulla storia e la filosofia della scienza, che Auguste Comte ha elogiato nel suo corso sulla filosofia positiva; uscì postumo un saggio filosofico incompiuto intitolato Considérations générales sur les Sciences et les Lettres, nel quale identificava i processi intellettuali che riguardano le attività dell’uomo. Un cratere del pianeta Venere è stato nominato in suo onore. Oggi onorano la sua memoria a Parigi una scuola — L’École Sophie Germain — ed una strada — la rue Germain –. Certi numeri primi sono detti numeri primi di Sophie Germain.

Se ne volete sapere di più su Sophie Germain potete leggere l’intervista virtuale che le ho rivolto e che ho pubblicato sulla mia pagina personale di matelsup1-2012 !

Matematica mio….terrore !

Matematica, mio terrore è un libro scritto da Anne Siety, insegnante di Scienze dell’educazione nelle Università di Parigi X e Parigi VII. Ma questo bel libro è anche il tentativo di trovare, attraverso modalità inconsuete e originali, risposte a problemi e difficoltà molto diffusi fra ragazzi e adulti – il terrore, il “blocco” per la matematica. L’autrice ha una formazione psicologica e psicoanalitica ma sa (eccome se sa!) di matematica. Il suo intervento con i ragazzi, di cui il libro contiene un’ampia casistica, avviene appunto sul terreno della matematica, e il suo “metodo” non è e non vuole essere una psicoterapia mascherata. Ma piuttosto un modo di aiutare il superamento dei “blocchi” (e dei pregiudizi) nei confronti della matematica.

Tutto il libro è attraversato e animato dall’appassionata confutazione dell’idea che la matematica sia una disciplina fredda, astratta, che non mette in causa le emozioni, che non ha relazione con il corpo, che sta a sé. Nella prima sezione (“I miti della matematica”) vengono esposti e analizzati tutti i luoghi comuni e i casi tipici del repertorio delle allergie alla matematica: nei ragazzi che vanno a scuola, ma anche negli adulti, con i loro ricordi scolastici; e anche sottolineato il ruolo, positivo o negativo, che il rapporto con la matematica ha avuto nelle loro scelte di vita.

Bello il capitolo dedicato al talento, o “bernoccolo” per la matematica, insomma al peso che hanno le attitudini. C’è un felice profilo psicologico sul personaggio dell’alunno “negato per la matematica” (ma perché tradotto in italiano con “nullo”, che non si capisce?), sulla paradossale tranquillità che gli viene dall’essere “negato”, sulle paure che lo assalgono se comincia ad andare meglio.

La seconda parte (“Vivere la matematica”) è quella propositiva. Molti casi concreti, quasi un metodo pratico. La rivendicazione del riferimento della matematica al corpo e alle sue emozioni è sistematica, organizzata, appassionata. Il comune disdegno degli insegnanti per ciò che non è astrazione viene sottoposto a critica radicale: è un atteggiamento ideologico. L’astrazione è un processo dialettico, che va continuamente dall’esperienza sensibile al pensiero astratto, e non una dimensione data una volta per sempre. E così è stato anche nella storia: non erano forse calculi  i sassolini usati per contare nell’antichità?

Nell’ultima sezione, la psicoanalista che alberga nella formazione dell’autrice viene allo scoperto. E allora via con le dinamiche collegate alla separazione (“Separarsi da un segmento di retta”, “Separarsi dal professore”…), collegate al tempo e alla crescita,  collegate al sesso. E, in conclusione, il senso ultimo del suo operare con i ragazzi: “…in seguito, quando avrà forse dimenticato tutto, gli rimarrà l’esperienza di aver superato una situazione che credeva bloccata, grazie a delle risorse trovate in se stesso, e di cui non sospettava l’esistenza”.

Sesta lezione

Oggi il professor Lariccia ci ha parlato di problemi e di  “problem solving”.

Questo aspetto è stato studiato inizialmente da tartagli per la realizzazione del famoso Triangolo di Tartaglia e successivamente anche da due psicologi americani, Lucins e Lucins,  che hanno utilizzato come “cavie” i loro       studenti universitari per comprendere in che modo la maggor parte delle persone si comporta davanti a            situazioni problematiche.

Abbiamo poi cercato di risolvere un problema:

Con due recipienti per l’acqua opachi, A di capacità 9 litri e B di capacità 4 litri, una sorgente di acqua e un pozzo           in cui svuotare i recipienti, come possiamo ottenere 6 litri???  

Le mosse permesse sono:

A riempio il recipiente A

A ‘ svuoto il recipiente A 

B riempio il recipiente B

B ‘ svuoto il recipiente B

T travaso l’acqua dal recipiente A al recipiente B

T ‘ travaso l’acqua dal recipiente B al recipiente A

Devo ammettere che inizialmente non è stato così semplice ma una volta capito il concetto siamo riuscite a       risolvere il problema grazie all’aiuto di C-maps Tools. Ecco qui di fianco la mappa concettuale che abbiamo     realizzato con la soluzione del problema:

La matematica tutti i giorni !

Si può detestare la matematica quanto si vuole, ma non si può certo dire che non sia essenziale per la nostra vita e che non sia necessario “farci i conti” ogni giorno
Forse su questo dovremmo soffermarci un pò di più, e far riflettere i nostri alunni che sostengono l’inutilità dello studio di questa materia…
Pensiamo agli ambiti in cui ci imbattiamo nei numeri durante le nostre giornate….
Perciò ho “sfogliato” un giornale per evidenziare tutti i termini matematici.
Sembra che siano ben poche le cose che si possano dire senza “numerare”.
Sorvolando sul fatto che da sempre abbiamo dei numeri che in qualche modo ci identificano (dalla data di nascita e quindi dall’età, alla posizione nel registro scolastico, al numero civico, al nostro numero di cellulare che ci permette di tenerci in contatto), mi ha colpito notare quante volte nominiamo almeno una volta il numero uno: l’ articolo indeterminativo infatti enumera una quantità, anche se solo l’unità, ma lo usiamo spessissimo.
A parte questo, i numeri nella nostra giornata ci servono per ordinare il tempo (data e ora) e le quantità, misurare lo spazio, contare qualunque cosa ci capiti intorno, mettere in relazione, assegnare un valore… quest’ultima cosa soprattutto è fondamentale per questa società basata sull’economia.
A pensarci bene i soldi sono il maggior contatto che abbiamo coi numeri, perché tutti ci ritroviamo a fare i conti delle spese, a calcolare la percentuale degli sconti, a fare rapidi calcoli per evitare che ci diano il resto sbagliato (a questo stiamo attenti tutti!)…Non solo i numeri sono presenti praticamente ovunque… (ad esempio A4 indica un’autostrada…) qualcuno ne ha fatto addirittura un marchio (a partire dalle reti televisive fino ad arrivar a un noto gestore di telefonia mobile….). inoltre la matematica sta alla base anche della musica!

Quinta lezione

Oggi il professor Lariccia ci ha parlato delle rove individuali e di gruppo che dovremo svolgere per l’esame….in effetti l’esame si avvicina: aiuto!

Abbiamo continuato a lavorare con gli orologi, perfezionandoli. Prima abbiamo aggiunto delle palline ad ogni lancetta, poi abbiamo modificato i colori, due per rappresentare TIC TAC e tre per rappresentare DIN DON DAN !

         

Infine abbiamo unito i risultati finali in un unico orologio TIC TAC e DIN DON DAN ! 

La curiosità dei Numeri Ciclici

I numeri ciclici, o circolari, sono particolari in quanto moltiplicandoli per qualsiasi numero, sommando o facendo altre curiose operazioni, danno come risultato sempre le stesse cifre del numero di partenza, che girano come se l’ultima fosse attaccata alla prima.

Il più piccolo numero ciclico, escludendo il caso banale dell’1, è 142857. Proviamo a divertirci un po’ con questo numero, dapprima provando a moltiplicarlo per i primi sette numeri naturali:

142857 * 1 = 142857
142857 * 2 = 285714
142857 * 3 = 428571
142857 * 4 = 571428
142857 * 5 = 714285
142857 * 6 = 857142
142857 * 7 = 999999

 

Si nota subito che questo numero ha qualcosa di magico: le cifre sono sempre le stesse, e se immaginiamo di attaccare l’ultima alla prima, creando una ruota numerica, esse compaiono anche nello stesso ordine. L’ultima moltiplicazione, quella per 7, ci da tutti 9.

 (Ogni numero ciclico di n cifre, moltiplicato per n+1, da tutti 9).

Ma non bisogna pensare che sia finita qui, infatti con un piccolo trucchetto, si può far venir fuori la sequenza di cifre moltiplicando il numero per qualsiasi fattore intero. Ecco come:

142857 * 342 = 48857094   —-   857094 + 48 = 857142

142857 * 23341 = 3334425237   —-   425237 + 3334 = 428571

In pratica basta dividere il numero ottenuto dalla moltiplicazione in gruppi di 6 e poi sommarli per ottenere la stessa sequenza di cifre, sempre nello stesso ordine!